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(温故而知新)初中数学相似模型合集——燕尾形模型及勾股型

“ 正相似形在中考中占有极大的比重,它的考法又是千变万化,对于学生来说,既是重点,又是难点.今天讲解的是关于“燕尾形模型及勾股型"的一些基本结论,希望对学生的思维有一定的激发作用,给学生处理问题多一些途径。

没有更新这段时间姜姜老师也没有闲着,将关于初中数学压轴题型的——相似模型做了总结汇总,出了一份资料,感兴趣的同学可以看下。

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燕尾型相似

原理证明:

△ADE∽△ABC(AA)

△AEC∽△ADB(SAS)

△EOB∽△DOC(AA)

△EOD∽△BOC(SAS)

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典型例题:

如图,已知△ABC中CE⊥AB于E,BF⊥AC于F,

(1)求证:△ABF∽△ACE;

(2)求证:△AEF∽△ACB;

(3)若∠A=60,求:EF/BC

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【解答】

(1)证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,

∴∠AFB=∠AEC=90°,且∠BAF=∠CAE,

∴△ABF∽△ACE;

(2)证明:由(1)可知△ABF∽△ACE,

∴AE/AC=AF/AB,且∠EAF=∠CAB,

∴△AEF∽△ACB;

(3)解:由(2)知△AEF∽△ACB,

∴EF/BC=AE/AC,

∵∠A=60°,

∴AC=2AE,

∴EF/BC=AE/AC=1/2.

同步练习:

1.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC与AB边上的高,求证:BC=2DE.

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【解答】

证明:∵BD、CE分别是AC与AB边上的高,

∴∠BEC=∠BDC,

∴B、C、D、E四点共圆,

∴∠AED=∠ACB,而∠A=∠A,

∴△AED∽△ACB,

∴DE/BC=AD/AB;

∵BD⊥AC,且∠A=60°,

∴∠ABD=30°,AD=½AB,

∴BC=2DE.

2.如图,BD、CE是△ABC的高.

(1)求证:△ACE∽△ABD;

(2)若BD=8,AD=6,DE=5,求BC的长.

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【解答】

解:(1)证明:∵BD、CE是△ABC的高,

∴∠ADB=∠AEC=90°,

∵∠A=∠A,

∴△ACE∽△ABD;

(2)在Rt△ABD中,BD=8,AD=6,

根据勾股定理,得

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∵△ACE∽△ABD,

∴AC/AB=AE/AD

∵∠A=∠A,

∴△AED∽△ACB,

∴DE/BC=AD/AB,

∵DE=5,

∴BC=5*10/6=3/25

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勾股型相似

原理证明:

如图:∠CAB=∠DCB=90°

      ∠ABC=∠CBD

则 △DCB∽CAB

则 BC²=AB BD

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典型例题:

如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,

(1)求证:AC2=AB·AD;

(2)求证:△AFD∽△CFE.

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【解答】

(1)证明:∵AC平分∠DAB,

∴∠DAC=∠CAB,

∵∠ADC=∠ACB=90°,

∴△ADC∽△ACB,

∴AD:AC=AC:AB,

∴AC2=AB·AD;

(2)证明:∵E为AB的中点,

∴CE=BE=AE,

∴∠EAC=∠ECA,

∵∠DAC=∠CAB,

∴∠DAC=∠ECA,

∴CE∥AD,

∴△AFD∽△CFE.

同步练习:

1.如图,△ABC与△ADB中,∠ABC=∠ADB=90°,∠C=∠ABD,AC=5cm,AB=4cm,AD的长为() 

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故答案为:16/5

2.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=AB·AD,∠ADC=90°,点E为AB的中点.

(1)求证:△ADC∽△ACB.

(2)若AD=2,AB=3,求AC/AF的值.

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【解答】

(1)证明:∵AC平分∠DAB,

∴∠DAC=∠CAB,

∵AC2=AB·AD,

∴AC/AB=AD/AC,

∴△ADC∽△ACB;

(2)∵△ADC∽△ACB,

∴∠ACB=∠ADC=90°,

∵点E为AB的中点,

∴CE=AE=½AB=3/2,

∴∠EAC=∠ECA,

∴∠DAC=∠EAC,

∴∠DAC=∠ECA,

∴CE∥AD;

∴CF/FA=CE/AD=3/4,

∴AD/AF=7/4.

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